У вас же текст для "народа", а не для специалистов, поэтому можно попроще.

mouth-parts = ротовой аппарат [клеща]

insert (здесь) = погружать [ротовой аппарат], впиваться, "вгрызаться"

Получится как-то так:

Then they attach (in the thin skinned places), inserting their mouth-parts (called ‘rostrum’) in the skin.
=
...клещ впивается/вгрызается в кожу, погружая в нее свой ротовой аппарат...

Ссылок полно:

Вот как выглядит ротовой аппарат типичных представителей иксодовых клещей:
Внедрить такую усаженную крючьями штуковину в узкий канал поры, очень непросто, и клещ вкручивается в него своим ротовым аппаратом, перемещаясь вокруг ...
www.l-navigator.ru/news.php?act=c&page=222&cat=6

Ротовой аппарат клеща имеет размер около 1 мм и не может нанести животному значительного ущерба.
Все туловище объединено в один комплекс гнатосому (головотуловище), к которому прикрепляются ноги и ротовой аппарат.
www.rotweiler.ru/content/view/141/80/

На полное присасывание уходит больше часа, по истечении этого времени он не только погружает в кожу на всю длину ротовой аппарат, но и вдавливает в ...
www.mybirds.ru/forums/lofiversion/index.php/t9437.html

При этом брюшко часто отрывается, а ротовой аппарат остается в коже.
Для правильного удаления клеща поверхность кожи с присосавшимся членистоногим обрабатывают дезинфицирующим раствором (спиртом или одеколоном) и ...
www.likar.info/health/article_print.php?artid=176